חשבון פשוט
בשורה של ספרי מדע פופולרי שחיבר הצליח פרופ' איאן סטיוארט במשימה כמעט בלתי אפשרית: להפוך את המתמטיקה למרגשת בעיני הציבור הרחב. אילו בבתי הספר היו עוסקים פחות בצד הטכני של המקצוע ויותר בהיבטים היצירתיים שלו זה היה קורה מאליו, אומר מי שמכונה "כוכב הרוק של המתמטיקה" בראיון למוסף "כלכליסט"
למה רוב האנשים כל כך פוחדים ממתמטיקה?
"אני חושב שזה נובע מכך שיש הדגשה של הצד הטכני במתמטיקה. תאר לך שהמורה שלך לפסנתר היה עובד איתך רק על סולמות אבל לא היה מאפשר לך לנגן לחן, שלא לדבר על להלחין. הצד הטכני של המתמטיקה הוא חשוב, אבל ההתעקשות עליו גורמת לכך שעוסקים המון בנכון ולא נכון, וההתעסקות בנכון/לא נכון גורמת לאלה שמעט קשה להם לאבד את הביטחון. כי במתמטיקה אם אתה טועה, אתה לא יכול להתווכח ולנסות לשכנע בצדקתך. אם נשווה את זה למשחק כדורגל בבית הספר, זה כמו להרחיק ילד לעשר דקות אחרי שהחמיץ שער. זה לא קורה, כיוון שהחמצות הן חלק מהמשחק".
פרופ' איאן סטיוארט מאוניברסיטת וורוויק הוא אחד המתמטיקאים החשובים בני זמננו. אלא שחשיבותו אינה נובעת ממחקרים מתמטיים פורצי דרך, אלא דווקא ממפעל חייו מעורר ההשראה: חיבור הציבור הרחב למתמטיקה. מה שריצ'רד דוקינס עשה לביולוגיה עם ספרו "הגן האנוכי" והבאים אחריו, עשה סטיוארט למתמטיקה באמצעות עשרות ספרי מדע פופולרי וטורים ב"סיינטיפיק אמריקן", שבהם פרסם חידות מתמטיות והסברים פשוטים למונחים מתמטיים סבוכים. כך הצליח לעשות את מה שנחשב לכמעט בלתי אפשרי: להפוך את המתמטיקה לסקסית בעיני ההמונים. רבי־המכר שלו תורגמו לשלל שפות, ושניים מהם תורגמו לאחרונה לעברית - "לאלף את האינסוף", שמעניק סקירה בסיסית של 20 תחומים מתמטיים שונים (בהוצאת ספרי עליית הגג וידיעות ספרים), ו"תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט", שמרכז חידות מתמטיות משעשעות (בהוצאת כנרת, זמורה־ביתן).
פרופ' איאן סטיוארט. "כיוון שמתמטיקאים נוטים להיות רציונליים, אני לפעמים מפספס דברים במישור הבינאישי" צילום: נטלי גורדון
סטיוארט (65) גדל במשפחה ענייה בדרום־מזרח אנגליה, וכנראה זאת הסיבה שמודעות חברתית מפותחת מתגנבת מדי פעם אל תשובותיו. אולי זאת גם הסיבה שבחר כבר לפני כמה עשורים להחליף את התהילה המוגבלת שלה היה זוכה מצד העמיתים המעטים שיכלו להבין את מחקריו האקדמיים בתהילה רחבה יותר מצד הציבור שיקרא את טוריו וספריו. החלטה זו הפכה את סטיוארט מעוד מתמטיקאי מוכשר לכוכב הרוק של המתמטיקה, הנחשב היום לממשיך דרכו של מרטין גרדנר האמריקאי - האיש שתרם יותר מכל לפופולריזציה של המתמטיקה במאה ה־20.
עד כמה המתמטיקה באמת קשורה לעולם שלנו?
"אף שנהוג לומר שהמתמטיקה היא יצירה אנושית שהתגבשה במוחו של האדם, חלק גדול ממנה נוצר כתוצאה מהניסיון שלנו בעולם", אומר סטיוארט בראיון ראשון לעיתון ישראלי. "גיאומטריה, למשל, הגיעה כתשובה לשאלות מעשיות בנוגע למדידת אדמה. משוואות דיפרנציאליות פותחו כתוצאה משאלות בתחום האסטרונומיה והמכניקה. ההתפתחות של המתמטיקה היתה מאז ומעולם סוג של שילוב בין רעיונות שהגיעו מהעולם האמיתי לרעיונות שהיו טבועים בתוך המבנה הפנימי של המתמטיקה".
כלומר אתה טוען שהמתמטיקה היא לא לגמרי המצאה אנושית, אבל גם לא לגמרי תגלית.
"נכון. אנחנו ממציאים את המושגים על ידי כך שאנחנו מתמקדים במבנים מסוימים, אבל יש להם גם בסיס טבעי. למשל, מספרים ראשוניים. זוהי המצאה אנושית; ליקום לא אכפת אם מספר נקרא 'ראשוני' או 'לא ראשוני'. מצד שני, מובן שלעובדת היותו של מספר ראשוני יש משמעויות מסוימות. במילים אחרות, אנחנו ממציאים נרטיב כדי לספר סיפור שכבר קיים, שהרי בשל המבנה הלוגי של המתמטיקה, אנחנו לא יכולים להמציא תשובות ותוצאות. זה כבר שם".
והאם המתמטיקה יכולה לזהות מראש תופעות חברתיות, למשל בתחום הכלכלה?
"יש הרבה מודלים שחוזים תופעות כלכליות. קח למשל את מודל 80–20. העובדה ש־80% מההון בעולם ירוכז בידיהם של 20% מהאנשים זאת בעצם אמת מתמטית שמתבססת על נוסחאות שאני יכול להוכיח. מצב 80–20 זה בעצם 'המצב הטבעי', אבל מובן שממשלה יכולה להחליט שהיא לא מרוצה מהמצב הזה, שריכוז העושר בידי 20% אינו מוסרי, ולפעול בהתאם. אבל ללא התערבות, כנראה תמיד היינו מגיעים למצב של 80–20".
ומה עם תחומים מורכבים יותר, דוגמת תורת הכאוס? משוואות לורנץ שחוזות שינויים במזג האויר ומהוות את הבסיס לתורת הכאוס גורסות שכל שינוי קטן עכשיו יגרור שינוי עצום בעתיד. האם אפשר לזקק את המשוואה הזאת לחיים האמיתיים ולהסיק שכל החלטה שלנו תשפיע מהותית על עתידנו?
"אין לנו משוואה לחיים, והבעיה המרכזית עם תורת הכאוס בהקשר לחיים היא שבתיאוריה זה פועל, אבל את החיים אי אפשר להריץ פעמיים ולראות מה היה קורה אילו. המציאות מורכבת מהמון הפרעות, ובסופו של דבר התוצאה תלויה בממוצע ההפרעות. כך שקשה לזקק את משוואות לורנץ אל תוך המציאות. אבל בכל זאת, אנשים מאוד אוהבים את התחום הזה כי הוא מגרה את הדמיון".
משתתפים באולימפיאדת המתמטיקה לנוער בהולנד בשנה שעברה. "כדי שיצמח דור חדש של מתמטיקאים, הוא צריך להגיע מכל חלקי החברה" צילום: אי פי אי
מתמטיקה והכיס שלכם
את כישרון המתמטיקה הייחודי של סטיוארט גילה אחד ממוריו בתיכון, שסייע לו להתקבל לתואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת קיימברידג'. עם סיום התואר פנה ללימודי דוקטורט באוניברסיטת וורוויק, שלאחריהם קיבל קביעות במוסד. כשסיים לכתוב את הדוקטורט, התחיל לפרסם טור פופולרי בשם "שעשועים מתמטיים" במגזין "סיינטיפיק
אמריקן", ושם התחילה הקריירה של סטיוארט כשגרירה של המתמטיקה לציבור הרחב. סטיוארט השכיל לחבר תחומים שונים במתמטיקה, שנתפסת עבור רוב האוכלוסייה כתיאורטית, מפחידה ומרוחקת מדי, לחיי היומיום. כולם יודעים שמתמטיקה משמשת לבניית מטוסים, לשיגור לוויינים, לפיתוח תרופות, לבינוי ערים ולחיפוש נפט, אבל לא רק. הרי כולנו משתמשים בה ביומיום: בקנייה בסופר, בסודוקו, בשקלול השאלה כמה אנו דורשים כמשכורת בעבור עבודתנו, בחישוב התשואה על חסכונותינו והריבית שאנחנו עתידים לשלם עבור המשכנתא.
עד כמה החשש של אנשים ממתמטיקה מפריע להם בהתנהלות היומיומית שלהם, למשל בהתנהלותם הכספית?
"מחקרים מלמדים שאנשים מבינים מתמטיקה בהיבטים מעשיים הרבה יותר מאשר בהיבט התיאורטי, ולכן רבים מסתדרים עם הכסף שלהם. אתה תמצא הרבה יותר אנשים שיידעו לומר לך כמה יהיה עליהם לשלם עבור מוצר שיעלה להם דולר אחד ליום למשך שמונה שבועות, מאשר אם תשאל אותם כמה זה שבע כפול שמונה.
"מצד שני, אנשים לעתים תופסים מספרים בצורה מזעזעת. הרבה מאוד אנשים לא מבדילים בין מיליון למיליארד משום ששניהם 'גדולים מאוד'. לכן הם לא באמת מבינים, למשל, אילו סכומי עתק הבנקאים בעולם הפסידו במשבר האחרון".
עד כמה גופים עסקיים, למשל בנקים או בתי השקעות, מנצלים את הבורות הזאת?
"אין לי ספק שהמגזר הפיננסי מנצל את חוסר החשיבה הפיננסית של הציבור. במשך שנים הבנק שלי היה מייעץ לי לשים את הכסף שלי במניות צמיחה והיה מראה לי גרפים שבהם הייתי אמור לראות כמה מהר הכסף שלי יצמח, לעומת כסף שיופקד באפיקים שמרניים, דוגמת 'בילדינג סוסייטי' (קואופרטיב בנקאי שנפוץ בבריטניה. בעלי המניות של הגוף הבנקאי הם הלקוחות שלו). אבל האמת היא שבילדינג סוסייטי זה הפתרון הטוב ביותר היום, אלא אם אתה יודע לנהל את הכסף שלך ועושה זאת בעצמך. ב־20 השנים האחרונות שוק המניות לא היה השקעה טובה. השפל מחק את הרווחים מהגאות. אם אתה לא מבין מתמטיקה, אתה עלול לטעות ולחשוב אחרת".
אולימפיאדת המתמטיקה לנוער צילום: אי פי אי
אנשים אוהבים מסתורין
"Flatland" היא נובלה אנגלית מפורסמת שחיבר אדווין אבוט ב־1884 כסאטירה על ההיררכיה החברתית בחברה הוויקטוריאנית. הנובלה מתארת חיים בעולם מישורי, בעל שני ממדים, והדמויות בספר מחולקות לקאסטות שונות, בהתאם למספר צלעותיהן (המעגלים הם בני המעמד הגבוה; הנשים הן קווים ישרים נעדרי צלעות, המשולות
ל"מצורעים"; וכיו"ב). ב־2001 פרסם סטיוארט נובלת המשך ל"Flatland" בשם "Flatterland", הכתובה בשפה הומוריסטית ומתארת את מסעה של הגיבורה מפלאטלנד ליקום בין־ממדי, שבו היא מבינה כיצד המתמטיקה משפיעה על מבנה העולם, ממד הזמן ושאלות מציאות, באופן שמזכיר במעט את "אליס בארץ הפלאות".
"היה לי כיף עם 'פלאטרלנד'. הקוראים או אהבו או שנאו את הספר, ולדעתי זאת אינדיקציה לחוש הומור. אני חושב שהוא הצליח יחסית כי ממדים נסתרים נשמעים מיסטיים ואנו אוהבים מסתורין. כשאתה אומר למשל שלחלל יש 11 ממדים והוא לא מה שאנו חושבים שהוא, יש לכך הרבה משיכה. אנשים אוהבים להפעיל את הדמיון. זה משחרר אותנו מהחיים האמיתיים".
נוסף על "פלאטרלנד" כתב סטיוארט עם מחבר סדרת "עולם הדיסק" טרי פראצ'ט, אחד מסופרי המדע הבדיוני הפופולריים בעולם, ועם הביולוג ג'ק כהן את "המדע של עולם הדיסק" - סדרה של שלושה ספרים שבהם מסבירים המחברים את האלמנטים המדעיים שמרכיבים את "עולם הדיסק", סאטירת מדע בדיוני מושחזת שמתפרסת על פני 40 ספרים.
אלא שרוב עבודתו של סטיוארט מתמקדת בספרי המתמטיקה הבסיסית שחיבר לאורך השנים, כמעט בכל תחום מתמטי אפשרי. מטרתו, הוא אומר, היא פשוט לגרום לאנשים לא לפחד ממתמטיקה. "אני רוצה להראות שהמתמטיקה מעניינת וחשובה. הספרים שלי לא נועדו לעזור לאנשים בחיי היומיום, אלא יותר לבסס אצלם רקע שיגרום להם להעריך את המתמטיקה. לא צריך לפחד ממנה. אני גם מבקש לנפץ מיתוסים, כאילו שמתמטיקה זה תחום נעדר יצירתיות או ששום דבר לא התחדש בה במשך מאות שנים", הוא אומר.
האם אתה, כמתמטיקאי, יכול בעזרתה לקבל החלטות טובות יותר בחיי היומיום?
"תלוי בהחלטות. אני בהחלט יכול לעלות ביתר קלות על טריקים שגורמים לאנשים לקבל החלטות לא נכונות וגם לזהות כשלים לוגיים ביתר קלות, כי אני מתורגל בכך. ומובן שבכל הקשור להחלטות שטעונות חשיבה מספרית קל לי יותר. מצד שני, כיוון שמתמטיקאים נוטים להיות רציונליים, אני לפעמים מפספס דברים במישור הבינאישי".
לאחרונה יש עדנה למתמטיקה, אבל מהמקום היישומי. למשל, הרבה סטודנטים הולכים לפקולטות למתמטיקה משום
שיש תפיסה שמתמטיקה היא תחום שיכול לסייע היום בכל מיני תחומים כמו הייטק או שוק ההון.
"כן, היום יש הרבה יותר אנשים עם תשתית מתמטית חזקה מאשר בעבר. הציבור הרבה יותר מתעניין, למשל, בסיפורים עיתונאיים על מתמטיקה ונגזרות שלה. יש גם הרבה תוכניות טלויזיה שעוסקות במתמטיקה. אנשים מבינים שתואר במתמטיקה יכול לפתוח לך המון דלתות, ושאנשים עם תואר במתמטיקה הם בין אלה שמרוויחים את המשכורות הגבוהות".
מדוע המתמטיקה נתפסת כתחום גברי?
"זה עניין תרבותי. נשים וגברים טובים במתמטיקה באותה המידה. בפורטוגל, למשל, נשים נוטות ללימודי מתמטיקה, וכשלימדתי שם כמעט כל הדוקטורנטים שלי היו נשים. באוניברסיטת וורוויק, שבה אני מלמד, הבחנו שנשים נוטות להיות חסרות ביטחון לעומת גברים בכל הקשור ללימודי מתמטיקה, גם כאשר הן טובות יותר. אבל זה הולך ומשתנה, וחשוב שזה ישתנה, משום שכדי שיצמח דור חדש של מתמטיקאים, הוא צריך להגיע מכל חלקי החברה. מקרב הנשים כמו גם מקרב אוכלוסיות מוחלשות אחרות.
"אני, למשל, גדלתי במעמד הפועלים והיה לי מזל גדול שהצלחתי. אבל לצערי במציאות הנוכחית של החברה המערבית, שבה הפערים בין עשירים לעניים הולכים ומחריפים, ושבה אנשים 'רגילים' מרוויחים פחות ופחות בעוד שהאלפיון העליון מסתיר 20 טריליון דולר במקלטי מס, הסיכוי שיצמח מבין האנשים האלה דור חדש של מתמטיקאים הולך ופוחת".
תשובות לחידות
1. המספר הכי קטן של משתתפים במסיבה הוא שבעה: שתי ילדות וילד אחד, אביהם ואמם, ואביו ואמו של האב.
2. הבה נקרא לזוג א' אברהם ושרה, לזוג ב' יצחק ורבקה, ולזוג ג' יעקב ורחל. א. יצחק ורבקה עולים על הסירה, שטים לצד השני ויצחק חוזר לבדו (רבקה בגדה הרחוקה). ב. יצחק יורד בגדה הראשונה, ושרה ורחל עולות על הסירה וחותרות אל עבר הגדה. רחל יורדת ושרה שבה לבדה עם הסירה (רבקה ורחל בגדה הרחוקה). ג. שרה יורדת מהסירה בגדה הראשונה ויצחק ויעקב עולים על הסירה. יעקב יורד מן הסירה ונשאר בגדה עם רחל, כאשר רבקה עולה על הסירה וחוזרת עם יצחק (יעקב ורחל בגדה הרחוקה). ד. רבקה יורדת מהסירה ואברהם עולה על הסירה ושט עם יצחק אל הגדה השנייה. שם יורדים השניים, ורחל עולה על הסירה לבדה ושטה אל הגדה הראשונה. ה. בגדה הראשונה נמצאות עכשיו שרה ורבקה. שרה עולה עם רחל על הסירה והן שטות אל הגדה השנייה. שתיהן יורדות בגדה השנייה ובמקומן עולה יצחק על הסירה. כעת נמצאים בגדה השנייה אברהם ושרה, יעקב ורחל. ו. יצחק שט אל עבר הגדה השנייה להביא את רבקה.
3. 100=123-45-67+89
